Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點F引它到漸進線的垂線，垂足為M，延長FM交y軸于E，若

FM

=2

ME

，則該雙曲線離心率為（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  6

  2

• C．

  3

• D．3

Answer 1

分析：先利用FM與漸近線垂直，寫出直線FM的方程，從而求得點E的坐標，利用已知向量式，求得點M的坐標，最后由點M在漸進線上，代入得a、b、c間的等式，進而變換求出離心率

解答：解：設F（c，0），則c²=a²+b²
∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸進線方程為y=±

b

a

x
∴垂線FM的斜率為-

a

b

∴直線FM的方程為y=-

a

b

（x-c）
令x=0，得點E的坐標（0，

ac

b

）
設M（x，y），∵

FM

=2

ME

，
∴（x-c，y）=2（-x，

ac

b

-y）
∴x-c=-2x且y=

2ac

b

-2y
即x=

c

3

，y=

2ac

3b

代入y=

b

a

x
得

2ac

3b

=

bc

3a

，即2a²=b²，
∴2a²=c²-a²，
∴

c2

a2

=3，

c

a

=

3

∴該雙曲線離心率為

3

故選C

點評：本題考查了雙曲線的幾何性質，求雙曲線離心率的方法，向量在解析幾何中的應用