Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，D是AB中點(diǎn)，E是AC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．
（1）求異面直線AB與DE所成的角；
（2）若M，N分別為棱AC，BC上的動點(diǎn)，求△DMN周長的平方的最小值；
（3）在三棱錐D-ABC的外接球面上，求A，B兩點(diǎn)間的球面距離和外接球體積．

Answer 1

分析：（1）取BC的中點(diǎn)F，連EF，DF，則AB與DE所成角即為EF與DE所成角，根據(jù)已知中AD=BD=2

2

，∠ADB=90°，可以判斷三角形DEF為正三角形，進(jìn)而求出異面直線AB與DE所成的角；
（2）以C為頂點(diǎn)將側(cè)面展開，依題意即求DD₁的長，根據(jù)∠ACD=∠BCD=45°，AC=BC=AB，結(jié)合余弦定理求出DD₁的長，即可得到△DMN周長的平方的最小值；
（3）根據(jù)已知條件求出外接球的半徑，即可求出A，B兩點(diǎn)間的球面距離和外接球體積．

解答：解：（1）取BC的中點(diǎn)F，連EF，DF則AB∥EF，AB與DE所成角即為EF與DE所成角
∵AD=BD=2

2

，∠ADB=90°，∴AB=4∴EF=2
又∵DE=DF=2，∴異面直線AB與DE所成角為60°
（2）如圖，以C為頂點(diǎn)的側(cè)面展開圖，依題意即求DD₁的長
∵∠ACD=∠BCD=45°，AC=BC=AB，∴∠ACB=60°
∴∠DCD₁=150°，CD=CD₁=2

2

∴D

D

2 1

=(2

2

)2+(2

2

)2-2

2

•2

2

cos150°=16+8

3

（3）∵2R=

3•(2 2 )2

=2

6

，∴R=

6

，V=

4

3

πR3=8

6

π∵AB=4，R=

6

，∴cosθ=

( 6 )2+( 6 )2-42

2• 6 • 6

=-

1

3

∴θ=π-arccos

1

3

，∴A，B兩點(diǎn)的球面距離為(π-arccos

1

3

)•

6

點(diǎn)評：本題考查的知識是球的體積，異面直線的夾角，其中（1）的關(guān)鍵是構(gòu)造異面直線的夾角的平面角，（2）的關(guān)鍵是展開側(cè)面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，（3）的關(guān)鍵是求出外接球的半徑．