Question

【題目】已知．

（1）若在上恒成立，求實數的取值范圍；

（2）證明：當時，．

Answer 1

【答案】(1) (2)證明見解析

【解析】

（1）求導，，討論與1 的大小確定的正負，進而確定的最值即可證明

（2）由（1）取，得 ，要證，只需證，構造函數，證明即可證明

（1）法一：由題意，

① 若，即時，，則在單調遞增，

則，則在單調遞增，故，滿足題意；

② 若，即時，存在，使得，且當時，，則在上單調遞減，則，則在單調遞減，此時，舍去；

③ 若，即時，，則在上單調遞減，則，則在單調遞減， ，舍去；

故．

法二：由題知，且，，

要使得在上恒成立，則必須滿足，即，．

① 若時，，則在單調遞增，則，

則在單調遞增，故，滿足題意；

② 若時，存在時，，則在上單調遞減，則，則在單調遞減，此時，舍去；

故．

（2）證明：由（1）知，當時，．取，

則

由（1），則，故，

要證，只需證．

令，則，，

當時，，則在上單調遞增，有，

故在單調遞增，故，

故，即有，得證