Question

設f1(x)=

2

1+x

，定義f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]，an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，其中n∈N^*，則數列{a_n}的通項

 

．

Answer 1

分析：根據已知可得f₁（0）=2，a₁=

2-1

2+2

=

1

4

，f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=

2

1+fn(0)

，從而a_n+1=-

1

2

a_n．所以數列{a_n}是首項為

1

4

，公比為-

1

2

的等比數列，故可求數列{a_n}的通項．

解答：解：（1）∵f₁（0）=2，a₁=

2-1

2+2

=

1

4

，f_n+1（0）=f₁[f_n（0）]=

2

1+fn(0)

，
∴a_n+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

=

1-fn(0)

4+2fn(0)

=-

1

2

•

fn(0)-1

fn(0)+2

=-

1

2

a_n，
∴q=

an+1

an

=-

1

2

，
∴數列{a_n}是首項為

1

4

，公比為-

1

2

的等比數列，
∴a_n=

1

4

（-

1

2

）^n-1．
故答案為：a_n=

1

4

（-

1

2

）^n-1．

點評：本題考查由數列遞推式求數列的通項，屬中檔題，解決本題的關鍵準確理解題意，尋求數列遞推式．