Question

已知函數f(x)=-x3+

1

2

ax2+b．
（1）若y=f（x）在x=1處的極值為

5

2

，求y=f（x）的解析式并確定其單調區間；
（2）當x∈（0，1]時，若y=f（x）的圖象上任意一點處的切線的傾斜角為θ，求當0≤θ≤

π

4

時a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為函數在x=1處的極值為

5

2

，所以在在x=1處的導數等于0，且在x=1處的函數值為

5

2

，就可得到兩個關于a，b的等式，解出a，b求出函數的解析式．再列表判斷函數在那個范圍內導數大于0，即為增區間，在那個范圍內導數小于0，即為減區間．
（2）因為切線的斜率是傾斜角的正切值，所以當0≤θ≤

π

4

時，0≤k≤1，而切線的斜率又是函數在切點處的導數，所以當x∈（0，1]時，f（x）的圖象上任意一點處的導數屬于[0，1]，這樣就可得到含參數a的不等式0≤-3x²+ax≤1在x∈（0，1]上恒成立，再據此求出參數a的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=-3x²+ax，由題意知

f/(1)=0 f(1)= 5 2

∴

-3+a=0 -1+ 1 2 a+b= 5 2

⇒a=3，b=2，
∴f(x)=-x3+

3

2

x2+2
∴f′（x）=-3x²+3x=-3x（x-1），可得函數的單調性如下表

x	（-∞，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	遞減		遞增		遞減

∴f（x）的遞增區間為（0，1），遞減區間為（-∞，0）及（1，+∞）
（2）∵tanθ=-3x²+ax，
∴0≤-3x²+ax≤1在x∈（0，1]上恒成立，
當0≤-3x²+ax時，可得a≥3x，∴a≥3
當-3x²+ax≤1時，a≤

1

x

+3x，
又

1

x

+3x≥2

3

（當且僅當x=

3

3

時取等號），∴a≤2

3

，
綜合得3≤a≤2

3

點評：本題主要考查導數在求函數極值，單調區間中的應用，導數的幾何意義，以及直線的傾斜角與斜率之間的關系．