Question

【題目】某商場進行有獎促銷活動，顧客購物每滿500元，可選擇返回50元現金或參加一次抽獎，抽獎規則如下：從1個裝有6個白球、4個紅球的箱子中任摸一球，摸到紅球就可獲得100元現金獎勵，假設顧客抽獎的結果相互獨立.

（Ⅰ）若顧客選擇參加一次抽獎，求他獲得100元現金獎勵的概率；

（Ⅱ）某顧客已購物1500元，作為商場經理，是希望顧客直接選擇返回150元現金，還是選擇參加3次抽獎？說明理由；

（Ⅲ）若顧客參加10次抽獎，則最有可能獲得多少現金獎勵？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）商場經理希望顧客選擇參加次抽獎，理由見解析；（Ⅲ）元.

【解析】

試題（Ⅰ）先確定從裝有10個球的箱子中任摸一球的結果有10種，其中摸到紅球的結果有4種，因此根據古典概型概率求法得（Ⅱ）比較與3次抽獎的數學期望的大小，由于3次抽獎是相互獨立，所以可視為獨立重復試驗，其變量服從二項分布，由此可得數學期望為，即三次抽獎中可獲得的獎勵金額的均值為元.

（Ⅲ）求概率最大時對應的獎金：由于變量服從二項分布，所以作商得，，因此最大，即獲得400元的現金

試題解析：（Ⅰ）因為從裝有10個球的箱子中任摸一球的結果共有種，摸到紅球的結果共有種，所以顧客參加一次抽獎獲得100元現金獎勵的概率是

；

（Ⅱ）設表示顧客在三次抽獎中中獎的次數，由于顧客每次抽獎的結果是相互獨立的，則

，

所以.

由于顧客每中獎一次可獲得100元現金獎勵，因此該顧客在三次抽獎中可獲得的獎勵金額的均值為元.

由于顧客參加三次抽獎獲得現金獎勵的均值120元小于直接返現的150元，所以商場經理希望顧客參加抽獎；

（Ⅲ）設顧客參加10次抽獎摸中紅球的次數為.

由于顧客每次抽獎的結果是相互獨立的，則.

于是，恰好次中獎的概率為

，.

從而，，

當時，；

當時，，

則最大.

所以，最有可能獲得的現金獎勵為元.

于是，顧客參加10次抽獎，最有可能獲得400元的現金獎勵.