Question

【題目】摩天輪是一種大型轉輪狀的機械建筑設施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉，可以從高處俯瞰四周景色.如圖，某摩天輪最高點距離地面高度為120m，轉盤直徑為110m，設置有48個座艙，開啟后按逆時針方向勻速旋轉，游客在座艙轉到距離地面最近的位置進艙，轉一周大約需要30min.

（1）游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉動tmin后距離地面的高度為Hm，求在轉動一周的過程中，H關于t的函數解析式；

（2）求游客甲在開始轉動5min后距離地面的高度；

（3）若甲、乙兩人分別坐在兩個相鄰的座艙里，在運行一周的過程中，求兩人距離地面的高度差h（單位：m）關于t的函數解析式，并求高度差的最大值（精確到0.1）.

Answer 1

【答案】（1），（2）游客甲在開始轉動5min后距離地面的高度約為37.5m（3）甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為7.2m

【解析】

（1）如圖，設座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心Q為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系，座艙轉動的角速度約為，計算得到答案.

（2）將數據代入解析式計算得到答案.

（3）計算，，相減得到

，計算最值得到答案.

（1）如圖，設座艙距離地面最近的位置為點P，以軸心Q為原點，與地面平行的直線為x軸建立直角坐標系，

設時，游客甲位于點，以OP為終邊的角為；

根據摩天輪轉一周大約需要30min，可知座艙轉動的角速度約為，

由題意可得，.

（2）當時，.

所以游客甲在開始轉動5min后距離地面的高度約為37.5m.

（3）如圖，甲、乙兩人的位置分別用點A，B表示，則.

經過tmin后甲距離地面的高度為，

點B相對于點A始終落后，

此時乙距離地面的高度為.

則甲、乙距離地面的高度差，

利用，

可得，.

當，即（或228）時，h的最大值為.

所以甲、乙兩人距離地面的高度差的最大值約為7.2m.