Question

（1）已知函數f（x）=x+

2

x

在（0，

2

）上為減函數；[

2

，+∞）上為增函數．請你用單調性的定義證明：f（x）=x+

2

x

在（0，

2

）上為減函數；
（2）判定并證明f（x）=x+

2

x

在定義域內的奇偶性；
（3）當x∈（-∞，0）時，根據對稱性寫出函數f（x）=x+

2

x

的單調區間（只寫出區間即可），并求出f（x）在x∈[-2，-1]的值域．

Answer 1

分析：（1）根據定義，設0＜x₁＜x₂＜

2

，通過作差法證明即f（x₁）＞f（x₂），即證明函數為減函數；
（2）根據定義，驗證f（-x）=-f（x）成立，即證明函數是奇函數；
（3）利用奇函數的性質得函數在[-2，-1]上的單調區間，根據單調區間求出函數的最大、最小值，可得值域．

解答：解：（1）設0＜x₁＜x₂＜

2

，
f（x₁）-f（x₂）=（x1+

2

x1

）-（x2+

2

x2

）=（x₁-x₂）+（

2

x1

-

2

x2

）=

(x1-x2)(x1x2-2)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂＜

2

，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＜2，∴x₁x₂-2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，

2

）上是減函數．
（2）函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
f（-x）=-x+

2

-x

=-（x+

2

x

）=-f（x）
∴f（x）是奇函數．
（3）根據奇函數的圖象關于原點對稱可知：
函數f（x）在（-∞，-

2

）上遞增；在（-

2

，0）上遞減，
∴f（x）在[-2，-

2

]上遞增；在[-

2

，-1]上遞減；，
∴在[-2，-

2

）上，-3≤f（x）≤f（-

2

）=-2

2

；
在[-

2

，-1]上，-2

2

≥f（x）≥f（-1）=-3；
∴f（x）在x∈[-2，-1]的值域為[-3，-2

2

．

點評：本題考查了用定義法判斷與證明函數的奇偶性、單調性，考查利用函數的單調性、奇偶性求函數的值域或最值，熟練掌握函數的奇偶性與單調性的定義是解答本題的關鍵．