Question

（2012•深圳一模）已知函數f(x)=

1

3

x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x

f′(x)

 ， m＞0，求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導數，利用f′（2-x）=f′（x），可求b的值；利用曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，可求a，c，d的值，從而可得函數解析式；
（2）確定函數解析式，分類討論，可求函數g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）求出函數h（x），再將不等式轉化為具體不等式，利用最值法，即可求得實數t的取值范圍．

解答：解：（1）求導數可得f′（x）=x²+2bx+c
∵f′（2-x）=f′（x），∴f′（x）關于x=1對稱，∴b=-1
與x軸交點處的切線為y=4x-12，設交點為（a，0），則f（a）=0，f′（a）=4
∴在（a，0）處的切線為：y=4（x-a）+0=4x-4a=4x-12，∴4a=12，∴a=3
由f'（3）=9-6+c=3+c=4得：c=1
由f（3）=

1

3

×27-3²+3+d=0得：d=-3
所以有：f(x)=

1

3

x3-x²+x-3
（2）g(x)=x

f′(x)

=x|x-1|
當x≥1時，g（x）=x（x-1）=x²-x=（x-

1

2

）²-

1

4

，函數為增函數
x＜1時，g（x）=-x²+x=-（x-

1

2

）²+

1

4

，最大為g（

1

2

）=

1

4

比較g（m）=m（m-1）與

1

4

得：m≥

1+ 2

2

時，m（m-1）≥

1

4

因此，0＜m≤

1

2

時，g（x）的最大值為m-m²；

1

2

＜m≤

1+ 2

2

時，g（x）的最大值為

1

4

；
m＞

1+ 2

2

時，g（x）最大值為m²-m
（3）h（x）=lnf′（x）=ln（x-1）²，
當x∈[0，1]時，h（x）=2ln（1-x）
此時不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立
則有2ln（t-x）＜2ln（-2x-1）
∴0＜t-x＜-2x-1，
可得t＞x且t＜-x-1，
又由x∈[0，1]，
則有-1＜t＜0

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的解析式，考查函數的最值，考查恒成立問題，確定函數的解析式是關鍵．