Question

【題目】在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，，沿將翻折到，連接，得到如圖所示的五棱錐，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求平面與平面所成二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).

【解析】試題分析：（1）根據(jù)菱形性質(zhì)得，再根據(jù)翻折關(guān)系得，結(jié)合線面垂直判定定理得平面，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論，（2）分別延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做，根據(jù)計(jì)算得，即得平面，利用三垂線定理及其逆定理證得為平面與平面所成二面角的平面角.最后解直角三角形得二面角的余弦值.

試題解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，所有，

因?yàn)榱庑?/span>的對(duì)角線互相垂直，所以，故.

翻折后即有

因?yàn)?/span>平面，平面，，所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以平面平面.

（2）分別延長(zhǎng)和相交于點(diǎn)，連，設(shè)，連接，∵

∴為等邊三角形.∴，，，，在中，，在中，，∴，

∵，∴平面，

又，∴平面，

過(guò)點(diǎn)做，連，則為平面與平面所成二面角的平面角.

在中，，，，∴，

∴，

∴.