Question

【題目】《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑．

如圖，在陽馬中，側棱底面，且， 為中點，點在上，且平面，連接， ．

（Ⅰ）證明： 平面；

（Ⅱ）試判斷四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，說明理由；

（Ⅲ）已知， ，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）見解析;（Ⅲ）．

【解析】試題分析：

(1)利用線面垂直的判斷定理證明 垂直于平面 內的兩條相交直線即可；

(2)利用空間幾何體的結構特征判斷命題是否成立即可；

(3)利用題意建立空間直角坐標系，求得法向量，最后利用 求解角度值即可求得余弦值.

試題解析：

（Ⅰ）因為面， 面，所以．

因為四邊形為矩形，所以．

，所以面．

面， ，

在中， ， 為中點，所以．

，

所以面．

（Ⅱ）四面體是鱉臑，其中， ．

（Ⅲ）以， ， 所在直線為軸， 軸， 軸建立空間直角坐標系． ， ， ， ， ．

設，則．

得解得．所以．

設平面的法向量，

令得， ．

平面的法向量，

平面的法向量，

， ．

二面角的余弦值為．