Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）．過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|≤2p．求a的取值范圍．

Answer 1

分析：設直線l的方程為y=x-a，將y=x-a代入y²=2px，得x²-2（a+p）x+a²=0，設直線l與拋物線兩個不同的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），導出|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

8p(p+2a)

，由|AB|≤2p．能求出a的取值范圍．

解答：解：設直線l的方程為y=x-a，
將y=x-a代入y²=2px，
得x²-2（a+p）x+a²=0，
設直線l與拋物線兩個不同的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則

4(a+p)2-4a2＞0 x1+x2=2(a+p) x1x2=a2

，
∵y₁=x₁-a，y₂=x₂-a，
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8p(p+2a)

，
∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，
∴0＜

8p(p+2a)

≤2p，
解得-

p

2

＜a≤-

p

4

．

點評：本題考查拋物線的性質、直線與拋物線的位置關系的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意韋達定理、弦長公式、不等式等知識的靈活運用．