Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點，和平面內一點，過點任作直線與橢圓相交于兩點，設直線的斜率分別為，，試求滿足的關系式.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題分析：（1）因為離心率，所以，又以為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切，所以，再結合，求得，，即求得橢圓標準方程；

（2）①當直線斜率不存在時，直線，直線與橢圓的交點，，所以，又，所以，所以的關系式為.②當直線的斜率存在時，設點，設直線，聯立橢圓整理得：，根系關系略，所以化簡得，結合韋達定理得，所以，所以的關系式為.

試題解析：（1）因為離心率，所以，

又因為以為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切，

所以，即

因為，

所以

所以橢圓標準方程；

（2）①當直線斜率不存在時，由，解得，不妨設，，

因為，所以，所以的關系式為.

②當直線的斜率存在時，設點，設直線，聯立橢圓整理得：，根系關系略，所以

所以，所以的關系式為.