Question

【題目】某精密儀器生產車間每天生產個零件，質檢員小張每天都會隨機地從中抽取50個零件進行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對其余所有零件進行檢查．根據多年的生產數據和經驗，這些零件的長度服從正態分布（單位：微米），且相互獨立．若零件的長度滿足，則認為該零件是合格的，否則該零件不合格．

（1）假設某一天小張抽查出不合格的零件數為，求及的數學期望；

（2）小張某天恰好從50個零件中檢查出2個不合格的零件，若以此頻率作為當天生產零件的不合格率．已知檢查一個零件的成本為10元，而每個不合格零件流入市場帶來的損失為260元．假設充分大，為了使損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件，試說明理由．

附：若隨機變量服從正態分布，則．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）需要，見解析

【解析】

（1）由零件的長度服從正態分布且相互獨立,零件的長度滿足即為合格,則每一個零件的長度合格的概率為,滿足二項分布,利用補集的思想求得,再根據公式求得；

（2）由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷.

（1）,

由于滿足二項分布,故.

（2）由題意可知不合格率為,

若不檢查,損失的期望為；

若檢查,成本為,由于,

當充分大時,,

所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.