Question

【題目】調味品品評師的重要工作是對各種品牌的調味品進行品嘗，分析、鑒定，調配、研發，周而復始、反復對比.對調味品品評師考核測試的一種常用方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質不同的調味品讓其品嘗，要求其按品質優劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶調味品，并重新按品質優劣為它們排序，這稱為一輪測試.根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分.現設，分別以，，，表示第一次排序時被排為1，2，3，4的四種調味品在第二次排序時的序號，并令，則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述.（如第二次排序時的序號為1，3，2，4，則）.

（1）寫出X的所有可能值構成的集合；

（2）假設，，的排列等可能地為1，2，3，4的各種排列，求X的數學期望；

（3）某調味品品評師在相繼進行的三輪測試中，都有.

（i）試按（2）中的結果，計算出現這種現象的概率（假定各輪測試相互獨立）；

（ⅱ）請你判斷該調味品品評師的品味鑒別能力如何？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）5（3）（ⅰ）（ⅱ）我們認為該品酒師確定有良好的味覺鑒別功能，不是靠隨機猜測.

【解析】

（1）在1，2，3，4中奇數與偶數各有兩個，從而，中的奇數個數等于，中的偶數個數，進而與的奇偶性相同，由此能舉出使得X所有可能值構成的集合.

（2）可用列表法列出1，2，3，4的一共24種排列，求得分布列進而求出X的數學期望.

（3）（ⅰ）首先，將三輪測試都有的概率記做p，由獨立性假設能求出結果.

（ⅱ）由于是一個很小的概率，這表明如果僅憑隨機猜測得到三輪測試都有的結果的可能性很小，從而我們認為該品酒師確定有良好的味覺鑒別功能，不是靠隨機猜測.

（1）X的可能值集合為，

在1，2，3，4中奇數與偶數各有兩個，

所以，中的奇數個數等于，中的偶數個數，

因此與的奇偶性相同，

從而必為偶數，X的值非負，且易知其值不大于8.

由此能舉出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子.

（2）可用列表列出1，2，3，4的一共24種排列，如下表所示：

1	2	3	4	0		3	1	2	4	4
1	2	4	3	2		3	1	4	2	6
1	3	2	4	2		3	2	1	4	4
1	3	4	2	4		3	2	4	1	6
1	4	2	3	4		3	4	1	2	8
1	4	3	2	4		3	4	2	1	8
2	1	3	4	2		4	1	2	3	6
2	1	4	3	4		4	1	3	2	6
2	3	1	4	4		4	2	1	3	6
2	3	4	1	6		4	2	3	1	6
2	4	1	3	6		4	3	1	2	8
2	4	3	1	6		4	3	2	1	8

計算每種排列下的X值如上表所示，在等可能的假定下，得到

X	0	2	4	6	8
P

.

（3）（ⅰ）首先，將三輪測試都有的概率記做p，

由上述結果和獨立性假設，得.

（ⅱ）由于是一個很小的概率，

這表明如果僅憑隨機猜測得到三輪測試都有的結果的可能性很小，

所以我們認為該品酒師確定有良好的味覺鑒別功能，不是靠隨機猜測.