Question

【題目】已知函數(shù)，，函數(shù)在點處的切線與函數(shù)相切.

（1）求函數(shù)的值域；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在點處的切線方程，與函數(shù)的解析式聯(lián)立，由可求得的值，然后利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域；

（2）要證明，即證，即證，求出函數(shù)的最小值，并利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，由此可得出結(jié)論.

（1）切點，，則，.

所以，函數(shù)在點處的切線方程為，即.

函數(shù)在點處的切線與函數(shù)相切.

聯(lián)立，化為，

，，解得.

，所以，函數(shù)的值域為；

（2）要證，即證，即證.

設(shè)，，則函數(shù)的定義域為.

，.

當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞增；

當時，，此時，函數(shù)單調(diào)遞減.

所以，函數(shù)的最大值為.

所以，，但是函數(shù)的最小值和函數(shù)的最大值不在同一處取得，

因此，.