Question

點P在直徑為5的球面上，過P作兩兩垂直的3條弦，設長度分別為a、b、c．若這三條弦總長為6，以點P為頂點，這三條弦為側棱的三棱錐的體積為

1

3

，則

1

a

+

1

b

+

1

c

=（　　）

• A．

  2

  11

• B．

  11

  2

• C．

  4

  11

• D．

  11

  4

Answer 1

分析：由點P在直徑為5的球面上，過P作兩兩垂直的3條弦，推出這三條弦為側棱的三棱錐是長方體的一個角的三棱錐，A-BCD，如圖，三棱錐擴展為長方體，它們的外接球是一個，通過已知的數據關系，列出方程組，求出a，b，c即可確定

1

a

+

1

b

+

1

c

的值．

解答：解：由題意可知：三條弦為側棱的三棱錐是長方體的一個角的三棱錐，如圖三棱錐A-BCD，擴展為長方體，它們的外接球是一個，長方體的體對角線就是外接球的直徑，因為點P在直徑為5的球面上，過P作兩兩垂直的3條弦，
設長度分別為a、b、c．若這三條弦總長為6，以點P為頂點，這三條弦為側棱的三棱錐的體積為

1

3

，
所以

a+b+c=6       a2+b2+c2=25 1 3 × 1 2 abc= 1 3

，即

a+b+c=6       …① a2+b2+c2=25 …② abc=2…③

①²-②2ab+2bc+2ac=11…④，
由

④

③

得

2ab+2bc+2ac

abc

=

11

2

，所以

1

a

+

1

b

+

1

c

=

11

4

．
故選D．

點評：本題考查幾何體的外接球的理解，能夠把三棱錐擴展為長方體，外接球相同是解題的關鍵，考查計算能力整體思想的應用．