【題目】如圖，三棱柱
中，
側面
，已知
，
，
，點
是棱
的中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的余弦值；
（3）在棱
上是否存在一點
，使得
與平面
所成角的正弦值為
，若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析（2）
（3）存在,
或
.
【解析】
（1）根據線面垂直的判定定理，即可證得
平面
.
（2）以
為原點，分別以
，
和
的方向為
，
和
軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，求得平面
和平面
的法向量，利用向量的夾角公式，即可求解；
（3）假設存在點
，設
，根據
，得到
的坐標，結合平面的法向量為列出方程，即可求解.
（1）由題意，因為
，
，
，∴
，
又∴
，∴
，
∵
側面
，∴
.
又∵
，
，
平面
∴直線平面.
（2）以為原點，分別以，和的方向為，和軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則有
，
，
，
，
設平面的一個法向量為
，
∵
，∴
，令
，則
，∴
設平面的一個法向量為
，
，
，
∵
，∴
，令
，則
，∴
，
，
，
，∴
.
設二面角
為
，則
.
∴設二面角的余弦值為.
（3）假設存在點，設，∵，
，
∴
，∴
∴
設平面的一個法向量為，
∴
，得
.
即
，∴
或
，∴或.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對某校高三年級學生參加社區服務次數進行統計，隨機抽取
名學生作為樣本，得到這名學生參加社區服務的次數.根據此數據作出了頻數與頻率統計表和頻率分布直方圖如下：
分組 | 頻數 | 頻率 |
| 15 | 0.30 |
| 29 |
|
|
|
|
| 2 |
|
合計 |
| 1 |
（1）求出表中，
及圖中
的值；
（2）若該校高三學生人數有500人，試估計該校高三學生參加社區服務的次數在區間
內的人數；
（3）在所取樣本中，從參加社區服務的次數不少于20次的學生中任選2人，求至多一人參加社區服務次數在區間
內的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，側面
是邊長為2的等邊三角形且垂直于底面
，
，
，
是
的中點.
（1）求證：直線
平面
；
（2）點
在棱
上，且二面角
的余弦值為
，求直線
與底面所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4—4：坐標系與參數方程
在直角坐標系xOy中，設傾斜角為α的直線l：
（t為參數）與曲線C：
（θ為參數）相交于不同的兩點A，B．
（Ⅰ）若α＝
，求線段AB中點M的坐標；
（Ⅱ）若｜PA｜·｜PB｜＝｜OP｜
，其中P（2，
），求直線l的斜率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為常數， 
，函數
， 
（其中
是自然對數的底數）.
（1）過坐標原點
作曲線
的切線，設切點為
，求證： 
；
（2）令
，若函數
在區間
上是單調函數，求
的取值范圍．
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