Question

集合A是由適合以下性質的函數f（x）構成的：對于定義域內任意兩個不相等的實數x₁，x₂，都有

1

2

[f(x1)+f(x2)]＞f(

x1+x2

2

)．
（1）試判斷f（x）=x²及g（x）=log₂x是否在集合A中，并說明理由；
（2）設f（x）∈A且定義域為（0，+∞），值域為（0，1），f(1)＞

1

2

，試求出一個滿足以上條件的函數f （x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）f（x）∈A，g（x）∉A．對于f（x）∈A的證明只要看是否滿足條件

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)即可，用作差法進行驗證．g（x）∉A，可通過舉反例來證明，如取x₁=1，x₂=2，不滿足

g(x1)+g(x2)

2

＞g(

x1+x2

2

)．
（2）受（1）的啟發，可從指數函數中去找，先按照條件“當x∈（0，+∞）時，
值域為（0，1）且f(1)＞

1

2

”找到，再證明是否滿足條件

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)條件即可．

解答：解：（1）f（x）∈A，g（x）∉A．（2分）
對于f（x）∈A的證明．任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

x12+x22

2

-(

x1+x2

2

)2=

x12-2x1x2+x22

4

=

1

4

(x1-x2)2＞0
即

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)．∴f（x）∈A（3分）
對于g（x）∉A，舉反例：當x₁=1，x₂=2時，

g(x1)+g(x2)

2

=

1

2

(log21+log22)=

1

2

，
g(

x1+x2

2

)=log2

1+2

2

=log2

3

2

＞log2

2

=

1

2

，
不滿足

g(x1)+g(x2)

2

＞g(

x1+x2

2

)．∴g（x）∉A．（4分）

（2）函數f(x)=(

2

3

)x，當x∈（0，+∞）時，
值域為（0，1）且f(1)=

2

3

＞

1

2

．（6分）
任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁≠x₂，
則

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

1

2

[(

2

3

)x1+(

2

3

)x2-2•(

2

3

)

x1+x2

2

]
=

1

2

{[(

2

3

)

x1

2

]2-2•(

2

3

)

x1

2

•(

2

3

)

x2

2

+[(

2

3

)

x2

2

]2}=

1

2

[(

2

3

)

x1

2

-(

2

3

)

x2

2

]2＞0
即

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)．
∴f(x)=(

2

3

)x∈A．是一個符合條件的函數．（8分）

點評：本題是一道情境題，主要考查不等式的證明以及不等式的應用，還考查了構造思想，如本題中f（x）構造類型f（x）=a^x(

1

2

＜a＜1)或f(x)=

k

x+k

（k＞1）很常見．