Question

【題目】已知向量 =（sinx，2cosx）， =（5 cosx，cosx），函數f（x）= +| |2﹣ ．
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若x∈（ ， ）時，f（x）=﹣3，求cos2x的值；
（3）若cosx≥ ，x∈（﹣ ， ），且f（x）=m有且僅有一個實根，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由函數f（x）= +| |2﹣ ．

可得：f（x）= sinxcosx+2cos2x+sin2x+4cos2x﹣

= sin2x+ ﹣ cos2x+3+3cos2x-

= sin2x+ cos2x

=5sin（2x+ ）

∴函數f（x）的最小正周期T=

（2）解：當x∈（ ， ）

可得2x+ ∈[ ，2π]

∵f（x）=﹣3，即5sin（2x+ ）=﹣3

∴sin（2x+ ）=-

∴cos（2x+ ）=

∴cos2x=cos[（2x+ ）- ）=cos（2x+ ）cos ）+sin（2x+ ）sin ）=

（3）解：由題意∵cosx≥ ，x∈（﹣ ， ），

∴x∈[- ， ]，

∵f（x）=m有且僅有一個實根，即函數f（x）與y=m的圖象只有一個交點．

f（x）=5sin（2x+ ）

∴2x+ ∈[- ， ]

令2x+ =t，則t∈[- ， ]，那么f（x）=5sin（2x+ ）轉化為g（t）=5sint與y=m的圖象只有一個交點．

，g（t）=5sint圖象如下：

從圖象可看出：當﹣5≤m 或m=5時，函數y=m與g（t）=5sint只有一個交點．故得實數m的取值范圍是{m|﹣5≤m 或m=5}

【解析】（1）根據平面向量數量積運算建立關系，求解f（x），利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期（2）根據x∈（ ， ）時，出內層函數的取值范圍，f（x）=﹣3，化簡f（x），可求cos2x的值．（3）根據cosx≥ ，x∈（﹣ ， ），確定x的范圍，利用數形結合法作f（x）=m有且僅有一個實根，可得答案．