Question

【題目】已知函數，，．

（1）求函數的極值；

（2）若在上為單調函數，求的取值范圍；

（3）設，若在上至少存在一個，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），無極大值；（2）；（3）.

【解析】

（1）求得，即可判斷為函數的極小值點，問題得解。

（2）“在上為單調函數”可轉化為：恒大于等于0或者恒小于等于0，即可轉化為：或在上恒成立，再轉化為在恒成立或在恒成立，求得，問題得解。

（3）構造函數，對的取值分類，當時，可判斷恒成立，即不滿足題意，當時，利用導數可判斷在單調遞增，結合，由題意可得：，問題得解

（1）因為.由得:，

當時，，當時，

所以為函數的極小值點 .

（2），.

因為在上為單調函數，

所以或在上恒成立，

等價于在恒成立，

又．當且僅當時，等號成立

等價于，

即在恒成立，而．

綜上，m的取值范圍是．

（3）構造函數，

當時，，

所以在不存在，使得

當時，

因為，所以在恒成立，

故在單調遞增，

所以，又

所以只需，解之得，

故m的取值范圍是 .