Question

【題目】如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中點．

(1)證明：CD⊥平面PAE；

(2)若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P－ABCD的體積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）要證平面，由已知平面，已經有，因此在直角梯形中證明即可，通過計算得，而是中點，則有；（Ⅱ）PB與平面ABCD所成的角是，下面關鍵是作出PB與平面PAE所成的角，由（Ⅰ）作，分別與相交于，連接，則是PB與平面PAE所成的角，由這兩個角相等，可得，同樣在直角梯形中可計算出，也即四棱錐P-ABCD的高，體積可得．另外也可建立空間直角坐標系，通過空間向量法求得結論，第（Ⅱ）小題中關鍵是求點的坐標，注意這里直線與平面所成的角相等轉化為直線與平面的法向量的夾角相等．

試題解析：解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，，

是的中點，所以

所以

而內的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE．

（Ⅱ）過點Ｂ作

由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE．于是為直線ＰＢ與平面PAE

所成的角，且．

由知，為直線與平面所成的角．

由題意，知

因為所以

由所以四邊形是平行四邊形，故于是

在中，所以

于是

又梯形的面積為所以四棱錐的體積為

解法2：如圖（2），以A為坐標原點，所在直線分別為建立空間直角坐標系．設則相關的各點坐標為：

（Ⅰ）易知因為

所以而是平面內的兩條相交直線，所以

（Ⅱ）由題設和（Ⅰ）知，分別是，的法向量，而PB與

所成的角和PB與所成的角相等，所以

由（Ⅰ）知，由故

解得．

又梯形ABCD的面積為，所以四棱錐的體積為

．