Question

【題目】已知函數，其中，為自然對數的底數.

（Ⅰ）設是函數的導函數，求函數在區間上的最小值；

（Ⅱ）若，函數在區間內有零點，求的取值范圍

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時，；當時，；

當時，.（Ⅱ）的范圍為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）易得，再對分情況確定的單調區間，根據在上的單調性即可得在上的最小值.（Ⅱ）設為在區間內的一個零點，注意到.聯系到函數的圖象可知，導函數在區間內存在零點，在區間內存在零點，即在區間內至少有兩個零點. 由（Ⅰ）可知，當及時，在內都不可能有兩個零點.所以.此時，在上單調遞減，在上單調遞增，因此，且必有.由得：，代入這兩個不等式即可得的取值范圍.

試題解答：（Ⅰ）

①當時，，所以.

②當時，由得.

若，則；若，則.

所以當時，在上單調遞增，所以.

當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以.

當時，在上單調遞減，所以.

（Ⅱ）設為在區間內的一個零點，則由可知，

在區間上不可能單調遞增，也不可能單調遞減.

則不可能恒為正，也不可能恒為負.

故在區間內存在零點.

同理在區間內存在零點.

所以在區間內至少有兩個零點.

由（Ⅰ）知，當時，在上單調遞增，故在內至多有一個零點.

當時，在上單調遞減，故在內至多有一個零點.

所以.

此時，在上單調遞減，在上單調遞增，

因此，必有

.

由得：，有

.

解得.

當時，在區間內有最小值.

若，則，

從而在區間上單調遞增，這與矛盾，所以.

又，

故此時在和內各只有一個零點和.

由此可知在上單調遞增，在 上單調遞減，在上單調遞增.

所以，，

故在 內有零點.

綜上可知，的取值范圍是.