Question

已知函數f（x）=

a

x

+lnx-1（a是常數，e=2.71828）．
（Ⅰ）若x=2是函數f（x）的極值點，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當a=1時，方程f（x）=m在x∈[

1

e

，e²]上有兩解，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）求證：ln

n

n-1

＞

1

n

（n＞1，且n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對f（x）進行求導，因為x=2是函數f（x）的極值點，可得f′（2）=0，求得a的值，求出切點根據導數與斜率的關系求出切線方程；
（Ⅱ）把a=1代入函數f（x）=

a

x

+lnx-1，對其進行求導，方程f（x）=m在x∈[

1

e

，e²]上有兩解，將問題轉化為求f（x）的值域，利用導數研究函數f（x）的最值問題；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a=1時，由（2）知f（x）=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上為增函數，可以令x=

n

n-1

，得到一個不等式，利用此不等式進行放縮證明；

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=

x-a

x2

，x=2是函數f（x）的極值點，
∴f′（2）=0，可得

2-a

4

=0，得a=2，
∴f′（1）=1-a=-1，
點（1，f（1））即（1，2），
∴y-2=（-1）（x-1），即x+y-1=0
∴切線方程為x+y-1=0；
（Ⅱ）當a=1時，f（x）=

1

x

+lnx-1，f′（x）=

x-1

x2

，其中x∈[

1

e

，e²]，
當x∈[

1

e

，1）時，f′（x）＜0；
x∈（1，e²]時，f′（x）＞0，
∴x=1是f（x）在[

1

e

，e²]上唯一的極小值點，
∴[f（x）_min]=f（1）=0；
f（

1

e

）=e-2，f（e²）=

1

e2

+lne²-1=

1

e2

+1，
f（

1

e

）-f（e²）=e-2-

1

e2

-1＜0，
綜上，所以實數m的取值范圍為{m|0≤m≤e-2}；
（Ⅲ）若a=1時，由（2）知f（x）=

1-x

x

+lnx在[1，+∞）上為增函數，
當n＞1時，令x=

n

n-1

，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0，
即f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，
∴ln

n

n-1

＞

1

n

（n＞1，且n∈N^*）；

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調區間及函數的最值問題，此題考查的知識點比較全面，第三問難度比較大，需要用到前兩問的結論，此題是一道中檔題；