Question

【題目】已知橢圓：的短軸長為2，直線被橢圓截得的線段長為，為坐標原點.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過點且斜率為的直線，與橢圓交于、兩點時，作線段的垂直平分線分別交軸、軸于、，垂足為，使得與的面積相等，若存在，試求出直線的方程，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在，

【解析】

（1）由題意可知：，易得橢圓過點，從而求得的值，即可求得橢圓的方程；

（2）假設存在滿足條件的直線，不妨設過的直線方程為：，將兩個三角形的面積相等轉化成關于的方程，解方程即可得答案；

（1）由題意可知：，因為橢圓過點，

所以，解得，

故所求橢圓的方程為.

（2）假設存在滿足條件的直線，不妨設過的直線方程為：，

與橢圓聯立方程組得：，消得：，

設線段中點，、，則由韋達定理得：

，，代入，

得點的縱坐標，

即.

所以線段的垂直平分線方程為：，

令，得；令，得，

所以的面積，

的面積，

因為與的面積相等，且，

所以，解得.

所以直線的方程為：.