Question

在直角坐標系x0y中，橢圓C1：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，F(xiàn)₂也是拋物線C₂：y²=4x的焦點，點M為C₁與C₂在第一象限的交點，且|MF₂|=

5

3

．
（Ⅰ）求M點的坐標及橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）已知直線l∥OM，且與橢圓C₁交于A，B兩點，提出一個與△OAB面積相關(guān)的問題，并作出正確解答．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先由拋物線定義及|MF₂|=

5

3

，求出點M的橫坐標，進而求其坐標，再由橢圓焦點為F₂（1，0），又過M點，用待定系數(shù)法求出橢圓方程
（Ⅱ）先由l∥OM，得l的斜率，從而將直線l的方程設(shè)為y=

6

（x-m），代入橢圓方程，利用韋達定理即可得弦長AB，利用點到直線的距離公式，可得△OAB的高，從而將△OAB的面積表示為m的函數(shù)，最后根據(jù)所得結(jié)論提兩個問題即可

解答：解：（Ⅰ）由拋物線C₂：y²=4x 知 F₂（1，0），設(shè)M（x₁，y₁），（x₁＞0，y₁＞0），M在C₂上，且|MF₂|=

5

3

，所以x₁+1=

5

3

，得x₁=

2

3

，代入y²=4x，得y₁=

2 6

3

，
所以M（

2

3

，

2 6

3

）．                                                     
M在C₁上，由已知橢圓C₁的半焦距 c=1，于是

4 9a2 + 8 3b2 =1 b2=a2-1

消去b²并整理得 9a⁴-37a²+4=0，解得a=2（a=

1

3

不合題意，舍去）．
故橢圓C₁的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．                                      
（Ⅱ）由y=

6

（x-m）得

6

x-y-

6

m=0，所以點O到直線l的距離為
d=

| 6 m|

7

，又|AB|=

4 7

9

9-2m2

，
所以S△OAB=

1

2

|AB|d=

2 6

9

-2m4+9m2

，
-

3 2

2

＜m＜

3 2

2

且m≠0．                                      
下面視提出問題的質(zhì)量而定：
如問題一：當△OAB面積為

2 42

9

時，求直線l的方程．（y=

6

（x±1））      
問題二：當△OAB面積取最大值時，求直線l的方程．（y=

6

（x±

3

2

））

點評：本題考察了橢圓的標準方程，直線與橢圓的關(guān)系等知識，解題時要能熟練運用弦長公式，點到直線的距離公式，三角形面積公式解決問題，認真體會韋達定理的重要應(yīng)用