Question

（2012•濟南三模）已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）和直線L：

x

a

-

y

b

=1，橢圓的離心率e=

6

3

，直線L與坐標原點的距離為

3

2

．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知定點E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓相交于C、D兩點，試判斷是否存在k值，使以CD為直徑的圓過定點E？若存在求出這個k值，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用直線L：

x

a

-

y

b

=1與坐標原點的距離為

3

2

，橢圓的離心率e=

6

3

，建立方程，求出橢圓的幾何量，即可求得橢圓的方程；
（2）直線y=kx+2代入橢圓方程，利用韋達定理及CD為圓心的圓過點E，利用數量積為0，即可求得結論．

解答：解：（1）∵直線L：

x

a

-

y

b

=1與坐標原點的距離為

3

2

，∴

3

2

=

|ab|

a2+b2

．①…（2分）
∵橢圓的離心率e=

6

3

，∴

c2

a2

=

2

3

．②…（4分）
由①得4a²b²=3a²+3b²，即4a²（a²-c²）=3a²+3（a²-c²）③
由②③得a²=3，c²=2
∴b²=a²-c²=1
∴所求橢圓的方程是

x2

3

+y²=1…（6分）
（2）直線y=kx+2代入橢圓方程，消去y可得：（1+3k²）x²+12kx+9=0
∴△=36k²-36＞0，∴k＞1或k＜-1…（8分）
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則有x₁+x₂=

-12k

1+3k2

，x₁x₂=

9

1+3k2

…（10分）
∵

EC

=(x1+1，y1)，

ED

=(x2+1，y2)，且以CD為圓心的圓過點E，
∴EC⊥ED…（12分）
∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0
∴（1+k²）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0
∴（1+k²）×

9

1+3k2

+（2k+1）×

-12k

1+3k2

+5=0，解得k=

7

6

＞1，
∴當k=

7

6

時以CD為直徑的圓過定點E…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查向量知識，解題的關鍵是聯立方程，利用韋達定理求解．