Question

【題目】已知過拋物線 的焦點F，斜率為 的直線交拋物線于 兩點，且 .
（1）求該拋物線E的方程；
（2）過點F任意作互相垂直的兩條直線 ，分別交曲線E于點C,D和M,N.設線段 的中點分別為P,Q，求證：直線PQ恒過一個定點.

Answer 1

【答案】
（1）解：拋物線的焦點 ，∴直線AB的方程為：
聯立方程組 ，消元得： ，
∴
∴ ，解得 .
∵ ，∴拋物線E的方程為：
（2）解：設C,D兩點坐標分別為 ，則點P的坐標為 ..
由題意可設直線 的方程為 .
由 ，得 .

因為直線 與曲線E于C,D兩點，所以 .
所以點P的坐標為 .
由題知，直線 的斜率為 ，同理可得點Q的坐標為 .
當 時，有 ，此時直線PQ的斜率 .
所以，直線PQ的方程為 ，整理得 .
于是，直線PQ恒過定點 ；
當 時，直線PQ的方程為 ，也過點 .
綜上所述，直線PQ恒過定點 .
【解析】（1）設出直線方程，聯立拋物線與直線，得到一元二次方程，利用韋達定理得到坐標間的關系，最后用兩點之間的距離公式求得p的值。
（2）設出直線l1和點C，D的坐標，聯立直線和拋物線方程，得到點P的坐標，同理求得點Q的坐標，由此得出直線PQ的方程，檢驗即可發現所過定點。