Question

【題目】如圖，底面為正方形的四棱錐中，平面，為棱上一動點，.

（1）當為中點時，求證：平面；

（2）當平面時，求的值；

（3）在（2）的條件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2；（3）

【解析】

（1）連接AC,BD設(shè)其交點為O,連接OE,證明OE∥PA，即可證明

（2）建立空間直角坐標系，求得平面的法向量，由線面垂直求解

（1）連接AC,BD設(shè)其交點為O,連接OE,則為中點，故OE∥PA

又平面，OE平面，故平面；

（2）以O為原點，OA，OB分別為x，y軸，過O做的平行線為軸，建立如圖所示空間坐標系，如圖示：

設(shè)AB=2，則，B（0，，0），D（0，-，0），，
設(shè)，，
平面，所以，則，故；

（3）因為平面，所以AE是平面的一個法向量，

故取平面的一個法向量為，平面的法向量為
設(shè)二面角為θ，
則，由圖知，二面角為鈍角，故二面角的余弦值為