Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線與直線之間的陰影部分記為，區域中動點到的距離之積為1.

（1）求點的軌跡的方程；

（2）對于區域中動點，求的取值范圍；

（3）動直線穿過區域，分別交直線于兩點，若直線與點的軌跡有且只有一個公共點，求證：的面積值為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）根據點到直線的距離關系建立方程即可求出點的軌跡方程；

（2）將 變形為，利用其幾何意義求范圍即可；
（3）根據直線和雙曲線的位置關系，結合三角形的面積公式進行求解即可．

解：（1）由題意得，即 ．
因為點在區域內，所以與同號，得，
即點的軌跡的方程為；

（2），

的幾何意義為：區域中動點到點的距離的平方再減去5.

觀察圖形得，區域中動點到點的距離的最小值就是點到直線的距離，無最大值，

即的最小值為，

的取值范圍為；
（3）設直線與軸相交于點，

當直線的斜率不存在時，

，，得．
當直線的斜率存在時，

設其方程為，顯然，則，
把直線的方程與:聯立

得，
由直線與軌跡C有且只有一個公共點，

知，
，

或．
設，

由得，

同理，得．
．
綜上，的面積恒為定值2．