Question

給出以下5個命題：
①曲線x²-（y-1）²=1按

a

=(1，-2)平移可得曲線（x+1）²-（y-3）²=1；
②設A、B為兩個定點，n為常數，|

PA

|-|

PB

|=n，則動點P的軌跡為雙曲線；
③若橢圓的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是該橢圓上的任意一點，延長F₁P到點M，使|F₂P|=|PM|，則點M的軌跡是圓；
④A、B是平面內兩定點，平面內一動點P滿足向量

AB

與

AP

夾角為銳角θ，且滿足 |

PB

| |

AB

| +

PA

•

AB

=0，則點P的軌跡是圓（除去與直線AB的交點）；
⑤已知正四面體A-BCD，動點P在△ABC內，且點P到平面BCD的距離與點P到點A的距離相等，則動點P的軌跡為橢圓的一部分．
其中所有真命題的序號為

 

．

Answer 1

分析：①原曲線即為線x²-（y-1）²=1，按向量平移即是把函數向右平移1個單位，向下平移2個單位后得到曲線．
②不正確．若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離；
③充分利用平面幾何圖形的條件特點，結合橢圓的定義，得到|F₁Q|為定長，從而確定動點Q的軌跡是個什么圖形．
④以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，先設P（x，y），欲動點P的軌跡C的方程，即尋找x，y之間的關系，結合向量的坐標運算即可得到．
⑤由題設條件將點P到平面ABC距離與到點V的距離相等轉化成在面VBC中點P到V的距離與到定直線BC的距離比是一個常數，依據圓錐曲線的第二定義判斷出其軌跡的形狀．

解答：解：①原曲線即為x²-（y-1）²=1，則平移后的曲線C為（x-1）²-（y+1）²=1；①不正確．
②若動點P的軌跡為雙曲線，則|k|要小于A、B為兩個定點間的距離．當|k|大于A、B為兩個定點間的距離時動點P的軌跡不是雙曲線．錯；
③∵|PF₁|+|PF₂|=2a，|PQ|=|PF₂|，
∴|PF₁|+|PF₂|=|PF₁|+|PQ|=2a，
即|F₁Q|=2a，
∴動點Q到定點F₁的距離等于定長2a，故動點Q的軌跡是圓．故答案：圓．正確；
④以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，
設A（-a，0），B（a，0），P（x，y），
則

AB

=（2a，0），

AP

=（x+a，y），

PB

=（a-x，-y），代入
|

PB

||

AB

|+

PA

•

AB

=0得 2a

(a-x)2+y2

-2a(x+a)=0；
整理得y²=4ax，
故點P的軌跡是拋物線（除去與直線AB的交點），
故錯．
⑤正四面體V-ABC∴面VBC不垂直面ABC，過P作PD⊥面ABC于D，過D作DH⊥BC于H，連接PH，
可得BC⊥面DPH，所以BC⊥PH，故∠PHD為二面角V-BC-A的平面角令其為θ
則Rt△PGH中，|PD|：|PH|=sinθ（θ為S-BC-A的二面角）．
又點P到平面ABC距離與到點V的距離相等，即|PV|=|PD|
∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC中，點P到定點V的距離與定直線BC的距離之比是一個常數sinθ，
面VBC不垂直面ABC，所以θ是銳角，故常數sinθ＜1
故由橢圓定義知P點軌跡為橢圓在面SBC內的一部分．故正確．
故答案為：③⑤

點評：本題主要考查了曲線的平移，向量共線的坐標表示，直線與橢圓的相交關系的綜合應用，試題的思路比較清晰，但需要考生具備一定的運算能力及邏輯推理能力．本題中求軌跡方程的方法及定義法．定義法：若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求．