Question

【題目】如圖，已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC=60°，平面AEFC⊥平面ABCD，EF∥AC，AE=AB，AC=2EF.

（1）求證：平面BED⊥平面AEFC；

（2）若四邊形AEFC為直角梯形，且EA⊥AC，求二面角B-FC-D的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）首先根據(jù)題中條件證明線面垂直，然后根據(jù)線面垂直證明面面垂直.

（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面法向量，利用二面角公式求出二面角的余弦值.

（1）因?yàn)樗倪呅?/span>ABCD是邊長為2的菱形，

所以，

又因?yàn)槠矫?/span>AEFC⊥平面ABCD，

平面AEFC平面ABCD，

平面ABCD，所以平面AEFC，

又因?yàn)?/span>平面，所以平面BED⊥平面AEFC.

（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

可知，，

點(diǎn)，

則,

設(shè)為平面的法向量，為平面的法向量，

由，，

解得，

設(shè)二面角B-FC-D為，

所以