Question

已知點

   （I）當點P在x軸上移動時，求動點M的軌跡方程；

   （II）設動點M的軌跡為C，如果過定點的直線與曲線C相交不同的兩點S、R，求證：曲線C在S、R兩點處的切線的交點在一條定直線上。

Answer 1

解：（I）設，

                                                     

   

    ，                                                                                    

   

                                                    

   

點M的軌跡方程為                                                

   （II）解法一：設

則直線SR的方程為：

即                                                             

  ①                            

對

∴拋物線上S、R處的切線方程為：

    ②                                

    ③                              

聯立②③，并解之得代入①得                                    

故切線的交點在定直線                                 

解法二：當過點A的直線斜率不存在時與題意不符。設直線SR的方程為

代入拋物線方程得                                 

設

由韋達定理                                                      

又過S，R點的切線方程分別是：

                                                   

代入                                                         

消去k，得

故切線的交點在定直線上