Question

【題目】已知兩點、，動點在軸上的射影是，且.

（1）求動點的軌跡方程；

（2）設直線、的兩個斜率存在，分別記為、，若，求點的坐標；

（3）若經過點的直線與動點的軌跡有兩個交點、，當時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或或或；（3）或.

【解析】

（1）設得，用坐標表示，求出軌跡方程為；

（2）由，求出關系，與橢圓方程聯立，即可求解；

（3）設出直線方程，與橢圓方程聯立，消去，得到關于的一元二次方程，由根與系數關系，得出兩點縱坐標關系，將轉化為縱坐標表示，即可求解.

（1）設，則，

，

，即為所求的軌跡方程；

（2）直線、的兩個斜率存在，

，

聯立解得，即，

所以坐標為或或或；

（3）若直線斜率為0，，不合題意，

設直線方程為，

聯立，消去得

，

設，

，

，整理得，

，

所求的直線方程為或.