Question

已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為y軸，且準線方程為y=-

1

2

.直線l過M（1，0）與拋物線交于A，B兩點，點P在y軸的右側且滿足

OP

=

1

2

OA

+

1

2

OB

（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求拋物線的方程及動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）記動點P的軌跡為C，若曲線C的切線斜率為λ，滿足

MB

=λ

MA

，點A到y(tǒng)軸的距離為a，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）待定系數(shù)法求出拋物線方程，點斜式設出直線l的方程并與拋物線方程聯(lián)立方程組，得到直線l與物線交于A，B兩點的坐標間的關系，由

OP

=

1

2

OA

+

1

2

OB

得到點P的坐標與直線斜率k的關系，消去k得到動點P的軌跡方程．
（Ⅱ）先求出曲線C的切線斜率λ的范圍，又

MB

=λ

MA

，用λ表示a，由斜率λ的范圍得出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意知拋物線的方程為x2=2py(p＞0)，且

p

2

=

1

2

.
∴p=1，拋物線的方程為x²=2y．（2分）
直線l的斜率不存在時，
直線l與拋物線交于一點，不符合題意．（3分）
于是設直線l的方程為y=k（x-1）．
聯(lián)立

y=k(x-1) x2=2y

，得x2-2kx+2k=0.
設兩交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則△=4k²-8k＞0?k＞2或k＜0，（4分）
∴x₁+x₂=2k，x₁x₂=2k．（5分）
設P(x，y)，則

OP

=(x，y)，

OA

=(x1，y1)，

OB

=(x2，y2).
∵

OP

=

1

2

OA

+

1

2

OB

，
∴

x= x1+x2 2 =k y= y1+y2 2 = 1 2 [k(x1-1)+k(x2-1)]=k2-k.

消去k得y=x²-x．（7分）
又∵P點在y軸的右側∴x＞0，
又∵x=k，k＞2或k＜0，∴x＞2．（8分）
∴動點P的軌跡方程為y=x²-x，（x＞0）；
（Ⅱ）∵曲線C的方程為y=x²-x，（x＞2）
∴切線斜率λ=y=2x-1（x＞2）．（9分）
∴λ＞3．（10分）
∵

MB

=(x2-1，y2)，

MA

=(x1-1，y1)，
又

MB

=λ

MA

∴

x2-1=λ(x1-1) y2=λy1

?

x2=λx1-λ+1 x22=λx12

∴λx₁²-2λx₁+λ-1=0．
解得x1=

2λ± 4λ

2λ

=1±

1 λ

.（12分）
∴a=x1=1±

1 λ

，(λ＞3)（13分）
∴a的取值范圍是：(1-

3

3

，1)∪(1，1+

3

3

).（14分）

點評：本題考查拋物線方程、軌跡方程的求法，以及向量運算．