Question

【題目】已知函數的圖象與軸相切．

（1）求的值．

（2）求證：．

（3）若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】

（1）先設切點，根據導數幾何意義列方程組，解得結果；

（2）先化簡不等式為，再構造函數，利用導數求其最大值，根據最大值證不等式；

（3）先求導數，再求導函數零點，利用（2）證，最后利用導數求其單調性與最值，根據最值證得不等式.

（1）解：設切點，則即∴．

（2）證明：∵，∴等價于．

設，則．

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減．

∴，即，∴．

（3）證明：設，．

由，得．

由（2）得，當時， ，所以當時，得．

當時， ，以代換，得，有，

所以當時，得，

∴當時，有．

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減．

又∵，∴當時，，即．