Question

在平面直角坐標系中，已知向量

OF

=(c，0)(c為常數，且c＞0)，

OG

=(x，x)(x∈R)，|

FG

|的最小值為1，

OE

=(

a2

C

，t）（a為常數，且a＞c，t∈R）．動點P同時滿足下列三個條件：
（1）|

PF

|=

c

a

|

PE

|；(2)

PE

=λ•

OF

(λ∈R，且λ≠0)；
（2）動點P的軌跡C經過點B（0，-1）．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在方向向量為m=（1，k）（k≠0）的直線l，l與曲線C相交于M、N兩點，使|

BM

|=|

BN

|，且

BM

與

BN

的夾角為60°？若存在，求出k值，并寫出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）將|

FG

|的長度用G的坐標表示成關于x的二次函數，通過求二次函數的最小值求出c的值．利用已知條件及唾液的第二定義判斷出曲線C為橢圓，寫出橢圓的方程．
（II）將直線方程與橢圓方程聯立，消去y得到關于x的二次方程，利用韋達定理，將轉化為B在MN的中垂線上得到
m=

1+3k2

2

，根據已知得到△BMN為等邊三角形，得到點B到直線MN的距離d與|MN|的關系，利用點到直線的距離公式及弦長公式求出d與|MN|，列出方程求出k的值．

解答：解（1）∵|

FG

|=

(x-c)2+x2

=

2(x- c 2 )2+ c2 2

≥

2

2

c，
∴

2

2

a=1，即c=

2

由

OE

=(

a2

c

，t)(t∈R)，可知點E在直線x=

a2

c

上．
由（1）、（2）可知點P到直線x=

a2

c

距離與到點F的距離之比為

a

c

(a＞c＞0)，再由橢圓的第二定義可知，點P的軌跡是橢圓，
橢圓C的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，其中b2=a2-c2．
由（3）可知b=1，
∴a²=b²+c²=1+2=3．
∴橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1．
（2）設直線l的方程為：y=kx+m，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）

y=kx+m x2+3y2=3

，消去y，得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0．
x₁+x₂=

6km

1+3k2

；x1x2=

3m2-3

1+3k2

△=36k²m²-12（m²-1）（1+3k²）=12[3k²-m²+1]＞0    ①
線段MN的中點G（x₀，y₀），
x₀=

x1+x2

2

=-

3km

1+3k2

；y0=kx0+m=-

3k2m

1+3k2

+m=

m

1+3k2

，
線段MN的垂直平分線的方程為：y-

m

1+3k2

=-

1

k

(x+

3km

1+3k2

)
∵|

BM

|=|

BN

|，
∴線段MN的垂直平分線過B（0，-1）點，
∴-1-

m

1+3k2

=-

1

k

•

3km

1+3k2

=-

3m

1+3k2

，
∴m=

1+3k2

2

②
②代入①，得3k²-（

1+3k2

2

)2+1＞0，解得-1＜k＜1，且k≠0．③
∵|

BM

|=|

BN

|，且

BM

與

BN

的夾角為60°，
∴△BMN為等邊三角形，
∴點B到直線MN的距離d=

3

2

|MN|，而d=

|1+m|

1+k2

=

|1+ 1+3k2 2 |

1+k2

=

3

2

1+k2

|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

•

(x1+x2)-4x1x2

1+k2

•

(- 6km 1+3k2 )2-4• 3m2-3 1+3k2

=

1+k2

1+3k2

12(3k2-m2+1

)
=

1+k2

1+3k2

12(3k2-( 1+3k2 2 )2+1)

=3

1+k2

1+3k2

1-k2

∴

3

2

1+k2

=

3 3

2

•

1+k2

1+3k2

1-k2

，
解得k²=

1

3

，即k=±

3

3

，滿足③式．代入②，得m=

1+3k2

2

=

1+1

2

=1．
直線l的方程為：y=±

3

3

x+1

點評：解決直線與圓錐曲線的相交的有關問題，一般的思路是將直線與圓錐曲線方程聯立，得到關于應該未知數的方程，利用韋達定理來解決．