Question

將y=sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度后，再使平移后的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)y=f（x）的圖象，將方程xf（x）=1的所有正根按從小到大排成一個(gè)數(shù)列{a_n}，在以下結(jié)論中：
①a_2k+2-a_2k＞2π（k∈N^*）；      ②

lim

n→∞

(an+1-an)=π；
③a_2k-1+a_2k＞（4k-3）π（k∈N^*）； ④a_2k+a_2k+1＞（4k-1）π（k∈N^*）
正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：項(xiàng)根據(jù)的三角函數(shù)的圖象變換求出f（x）的解析式，然后將方程xf（x）=1的所有正根轉(zhuǎn)化成y=f（x）與y=

1

x

的圖象在第一象限的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后畫(huà)出兩函數(shù)的圖形，結(jié)合圖形可判定選項(xiàng)的真假．

解答：解：將y=sin(2x+

π

3

)的圖象向右平移

π

6

個(gè)單位長(zhǎng)度后，
得到圖象的解析式為y=sin[2(x-

π

6

)+

π

3

]=sin2x，
再使平移后的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到y(tǒng)=f（x）=sinx，
方程xf（x）=1的所有正根即為y=f（x）與y=

1

x

的圖象在第一象限的交點(diǎn)橫坐標(biāo)
畫(huà)出圖形如下圖

觀察圖形可知
①a_2k+2-a_2k＞2π（k∈N^*）正確；     ②

lim

n→∞

(an+1-an)=π，正確；
③a_2k-1+a_2k＞（4k-3）π（k∈N^*）正確； ④a_2k+a_2k+1＞（4k-1）π（k∈N^*），當(dāng)k=1時(shí)，不成立
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程，以及數(shù)列與函數(shù)的綜合，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．