Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax+ +c是奇函數(shù)，且滿足f（1）= ，f（2）= ．
（1）求a，b，c的值；
（2）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0， ）上的單調(diào)性并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（﹣x）=﹣f（x）∴c=0，

∵ ，∴ ，

∴ ；

（2）解：∵由（1）問可得f（x）=2x+ ，

∴f（x）在區(qū)間（0，0.5）上是單調(diào)遞減的；

證明：設(shè)任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)0＜x1＜x2＜ ，

∵f（x1）﹣f（x2）=2（x1﹣x2）+ ﹣ =2（x1﹣x2）+ = ，

又∵0＜x1＜x2＜ ，

∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜ ，1﹣4x1x2＞0，

f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x）在區(qū)間（0，0.5）上是單調(diào)遞減的

【解析】（1）由函數(shù)是奇函數(shù)得到c=0，再利用題中的2個(gè)等式求出a、b的值．（2）區(qū)間（0， ）上任取2個(gè)自變量x1、x2 ， 將對(duì)應(yīng)的函數(shù)值作差、變形到因式積的形式，判斷符號(hào)，依據(jù)單調(diào)性的定義做出結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)單調(diào)性的判斷方法的相關(guān)知識(shí)，掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對(duì)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)的理解，了解在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．