Question

設函數f（x）=msinx+3cosx（x∈R），試分別解答下列兩小題．
（ I）若函數f（x）的圖象與直線y=n（n為常數）相鄰兩個交點的橫坐標為x1=

π

12

，x2=

7π

12

，求函數y=f（x）的解析式，并寫出函數f（x）的單調遞增區間；
（ II）當m=

3

時，在△ABC中，滿足f(A)=2

3

，且BC=1，若E為BC中點，試求AE的最大值．

Answer 1

分析：（I）根據函數圖象與y=n相鄰的兩交點的橫坐標的值列出關系式，表示出m，利用和差化積公式化簡后，再利用特殊角的三角函數值變形，求出m的值，確定出函數f（x）的解析式，由f（x）的解析式提取-6，然后利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的圖象與性質得到正弦函數的地增區間，列出關于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為函數的遞增區間；
（II）把m的值代入第一問化簡得到的函數解析式中，根據f（A）=2

3

，利用特殊角的三角函數值計算后求出A的度數，構造一個圓，弦BC所對的圓周角為∠A，點A在弦BC所對的優弧上運動，且不與B與C重合，可得出當△ABC為等腰三角形，AB=AC，且AE過圓心O時，此時AE最大，由E為BC的中點，由∠A的度數，利用同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍，求出∠BOC的度數，由OB=OC，得出三角形BOC為等邊三角形，根據三線合一得到AE垂直于BC，在直角三角形OBE中，根據勾股定理求出OE的長，再由AO+OE即可求出此時AE的長，即為AE的最大值．

解答：解：（I）根據題意得：
msin

π

12

+3cos

π

12

=msin

7π

12

+3cos

7π

12

=n，
變形得：m=

3(cos 7π 12 -cos π 12 )

sin π 12 -sin 7π 12

=

-6sin π 3 sin π 4

-2cos π 3 sin π 4

=3

3

，
∴f（x）=3

3

sinx+3cosx=6sin（x+

π

6

），
∵正弦函數的單調遞增區間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），
∴令2kπ-

π

2

≤x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：2kπ-

2π

3

≤x≤2kπ+

π

3

（k∈Z），
則函數f（x）的遞增區間為[2kπ-

2π

3

，2kπ+

π

3

]（k∈Z）；
（II）把m=

3

代入解析式得：f（x）=

3

sinx+3cosx=2

3

sin（x+

π

3

），
∵f（A）=2

3

，∴2

3

sin（A+

π

3

）=2

3

，即sin（A+

π

3

）=1，
又A為三角形的內角，∴A+

π

3

=

π

2

，即A=

π

6

，又BC=1，
假設∠A為弦BC所對的圓周角，畫出相應的圖形，如圖所示：

當△ABC為等腰三角形，AB=AC，且AE過圓心O時，此時AE最大，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，又OB=OC，且BC=1，
∴△BOC為邊長為1的等邊三角形，
又E為BC的中點，∴BE=CE=

1

2

BC=

1

2

，且OE⊥BC，
在直角三角形BOE中，根據勾股定理得：OE=

OB2-BE2

=

3

2

，
又OA=OB=1，∴AE=AO+OE=1+

3

2

，
則AE的最大值為1+

3

2

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：和差化積公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的單調性，等邊三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，圓周角定理，以及勾股定理，其中構造如圖所示的圖形，找出當△ABC為等腰三角形，AB=AC，且AE過圓心O時，此時AE最大是解本題第二問的關鍵．