Question

【題目】田忌賽馬是史記中記載的一個故事，說的是齊國將軍田忌經常與齊國眾公子賽馬，孫臏發也們的馬腳力都差不多，都分為上、中、下三等于是孫臏給田忌將軍制定了一個必勝策略：比賽即將開始時，他讓田忌用下等馬對戰公子們的上等馬，用上等馬對戰公子們的中等馬，用中等馬對戰公子們的下等馬，從而使田忌贏得公子們許多賭注假設田忌的各等級馬與某公子的各等級馬進行一場比賽獲勝的概率如表所示：

田忌的馬獲勝概率公子的馬	上等馬	中等馬	下等馬
上等馬			1
中等馬
下等馬	0

比賽規則規定：一次比由三場賽馬組成，每場由公子和田忌各出一匹馬出騫，結果只有勝和負兩種，并且毎一方三場賽馬的馬的等級各不相同，三場比賽中至少獲勝兩場的一方為最終勝利者．

如果按孫臏的策略比賽一次，求田忌獲勝的概率；

如果比賽約定，只能同等級馬對戰，每次比賽賭注1000金，即勝利者贏得對方1000金，每月比賽一次，求田忌一年賽馬獲利的數學期望．

Answer 1

【答案】（1）0.72；（2）見解析

【解析】

由題意知，田忌第三場比賽必輸，則前兩場比賽都勝，因而利用相互獨立事件的概率乘法公式可得出答案；

先計算出田忌比賽一次獲勝的概率，并計算出田忌比賽一次獲利的數學期望，這個期望乘以12即可得出田忌一年賽馬獲利的數學期望。

（1）記事件A：按孫臏的策略比賽一次，田忌獲勝，

對于事件A，三場比賽中，由于第三場必輸，則前兩次比賽中田忌都勝，

因此，；

設田忌在每次比賽所得獎金為隨機變量，則隨機變量的可能取值為和1000，

若比賽一次，田忌獲勝，則三場比賽中，田忌輸贏的分布為：勝勝勝、負勝勝、勝負勝、勝勝負，

設比賽一次，田忌獲勝的概率為，則．

隨機變量的分布列如下表所示：

		1000

所以，．

因此，田忌一年賽馬獲利的數學期望為金。