Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的單調區間；

（2）若為的極小值點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）遞增區間為，遞減區間為（2）

【解析】

（1）首先求出函數的導函數，記，則，分析的單調性，即可求出函數的單調性；

（2）依題意可得，記，則.

再令，則，利用導數分析的單調性，即可得到在有零點，即在單調遞減，在單調遞增，所以，再對分類討論可得；

解：（1）當時，，

記，則，

當時，，，

所以，在單調遞增，

所以，

因為，所以在為增函數；

當時，，，所以，

所以在為減函數.

綜上所述，的遞增區間為，遞減區間為.·

（2）由題意可得，.

記，則.

再令，則.

下面證明在有零點：

令，則在是增函數，所以.

又，，

所以存在，，且當，，，，

所以，即在為減函數，在為增函數，

又，，所以，

根據零點存在性定理，存在，

所以當，，

又，，

所以，即在單調遞減，在單調遞增，

所以.

①當，，恒成立，所以，即為增函數，

又，所以當，，為減函數，，，為增函數，是的極小值點，所以滿足題意.

②當，，令，

因為，所以，

故在單調遞增，故，即有

故，

又在單調遞增，

由零點存在性定理知，存在唯一實數，，

當，，單調遞減，即遞減，

所以，

此時在為減函數，所以，不合題意，應舍去.

綜上所述，的取值范圍是.