【題目】若函數
在
處有極值，且
，則稱為函數的“F點”.
（1）設函數
（
）.
①當
時，求函數的極值；
②若函數存在“F點”，求k的值；
（2）已知函數
（a，b，
，
）存在兩個不相等的“F點”
，
，且
，求a的取值范圍.
【答案】（1）①極小值為1，無極大值.②實數k的值為1.（2）
【解析】
（1）①將
代入
可得
，求導討論函數單調性，即得極值；②設
是函數的一個“F點”（
），即是
的零點，那么由導數
可知
，且
，可得
，根據
可得
，設
，由
的單調性可得，即得
.（2）方法一：先求
的導數，存在兩個不相等的“F點”
，
，可以由
和韋達定理表示出，的關系，再由
，可得
的關系式，根據已知解
即得.方法二：由函數存在不相等的兩個“F點”和，可知，是關于x的方程組
的兩個相異實數根，由
得
，分兩種情況：是函數一個“F點”，不是函數一個“F點”，進行討論即得.
解：（1）①當時， （
），
則有
（
），令
得
，
列表如下：
x |
| 1 |
|
|
| 0 |
|
|
| 極小值 |
|
故函數在處取得極小值，極小值為1，無極大值.
②設是函數的一個“F點”（）.
（），
是函數的零點.
，由，得
，，
由，得
，即.
設，則
，
所以函數在
上單調增，注意到
，
所以方程存在唯一實根1，所以
，得，
根據①知，時，是函數的極小值點，
所以1是函數的“F點”.
綜上，得實數k的值為1.
（2）由
（a，b，
，
），
可得
（）.
又函數存在不相等的兩個“F點”和，
，是關于x的方程
（）的兩個相異實數根.
又
，
，
，即
，
從而
，
，
即
.
.
，
，
解得
.所以，實數a的取值范圍為.
（2）（解法2）因為（ a，b，，）
所以（）.
又因為函數存在不相等的兩個“F點”和，
所以，是關于x的方程組的兩個相異實數根.
由得，
.
（2.1）當是函數一個“F點”時，
且
.
所以
，即
.
又
，
所以
，所以
.又，所以.
（2.2）當不是函數一個“F點”時，
則，是關于x的方程
的兩個相異實數根.
又，所以
得
所以
，得
.
所以
，得.
綜合（2.1）（2.2），實數a的取值范圍為.
100分闖關期末沖刺系列答案
名校聯盟快樂課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，
的參數方程為
（t為參數）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為
.
（1）求的普通方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）求曲線C上的點到距離的最大值及該點坐標.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓E：
（
）的離心率為
，且短軸的一個端點B與兩焦點A，C組成的三角形面積為
.
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若點P為橢圓E上的一點，過點P作橢圓E的切線交圓O：
于不同的兩點M，N（其中M在N的右側），求四邊形
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】我們稱n（
）元有序實數組（
，
，…，
）為n維向量，
為該向量的范數.已知n維向量
，其中
，
，2，…，n.記范數為奇數的n維向量
的個數為
，這個向量的范數之和為
.
（1）求
和
的值；
（2）當n為偶數時，求，（用n表示）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，橢圓
的長軸長為
，點
、
、
為橢圓上的三個點，為橢圓的右端點，
過中心
，且
，
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設
、
是橢圓上位于直線
同側的兩個動點（異于、），且滿足
，試討論直線
與直線
斜率之間的關系，并求證直線
的斜率為定值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知兩動圓
和
（
），把它們的公共點的軌跡記為曲線
，若曲線與
軸的正半軸的交點為
，且曲線上的相異兩點
滿足：
.
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）證明直線
恒經過一定點，并求此定點的坐標；
（3）求
面積
的最大值.
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