Question

（2006•石景山區一模）如圖所示，已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點A（1，0），M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，點N的軌跡為曲線E．
（Ⅰ） 求曲線E的方程；
（Ⅱ） 若點B₁（x₁，y₁），B₂（-1，y₂），B₃（x₃，y₃）在曲線E上，線段B₁B₃的垂直平分線為直線l，且|B₁A|，|B₂A|，|B₃A|成等差數列，求x₁+x₃的值，并證明直線l過定點；
（Ⅲ）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足

FG

=λ

FH

，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0．可知：NP為線段AM的垂直平分線，利用橢圓的橢圓可得：點N的軌跡是橢圓；
（II）利用橢圓的第二定義可得|B₁A|，|B₂A|，|B₃A|的長度，利用成等差數列，即可得出x₁+x₃；由x₁+x₃=-2，可設線段B₁B₃的中點為（-1，t）．于是

x 2 1 2 + y 2 1 =1 x 2 2 2 + y 2 2 =1 x1+x3=-2，y1+y2=2t

即可得到kB1B3，即可得到直線l的方程，進而得出過定點；
（III）把直線l的方程代入橢圓方程可得△＞0即根與系數的關系，再利用向量相等即可得到λ與k的關系式，利用△＞0即可得到λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，圓C的圓心為（-1，0），半徑r=2

2

．
∵

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0．
∴NP為線段AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|．
又∵|CN|+|NM|=r=2

2

，∴|CN|+|AN|=2

2

＞2．
∴動點N的軌跡是以點C（-1，0），A（1，0）為焦點且長軸長為2

2

的橢圓．                                               …（2分）
∴a=

2

，c=1，b=1．
∴曲線E的方程為

x2

2

+y2=1．                     …（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A為橢圓的右焦點，其右準線方程為l₁：x=2
設B₁到直線l₁的距離為d．
根據橢圓的定義知

|B1A|

d

=e=

1

2

，
得|B1A|=

2

2

d=

2

2

(2-x1)=

2

-

2

2

x1．
同理可得：|B2A|=

3 2

2

，|B3A|=

2

-

2

2

x3．       …（5分）
∵|B₁A|，|B₂A|，|B₃A|成等差數列，
∴|B₁A|+|B₃A|=2|B₂A|，代入得x₁+x₃=-2．      …（6分）
下面證明直線l過定點．
由x₁+x₃=-2，可設線段B₁B₃的中點為（-1，t）．
∴

x 2 1 2 + y 2 1 =1 x 2 2 2 + y 2 2 =1 x1+x3=-2，y1+y2=2t

得kB1B3=

y1-y3

x1-x3

=

1

2t

．
∴直線l的斜率k₁=-2t，則直線l的方程為：y-t=-2t（x+1），
即l：2tx+y+t=0．                               …（8分）
∴直線l過定點，定點為(-

1

2

，0)．           　       …（9分）
（Ⅲ）當直線GH斜率存在時，設直線GH方程為y=kx+2，
代入橢圓

x2

2

+y2=1，得(

1

2

+k2)x2+4kx+3=0．
由得k2＞

3

2

．                      　       …（10分）
設G（x₄，y₄），H（x₅，y₅），則x4+x5=

-4k

1 2 +k2

，①
x4x5=

3

1 2 +k2

．      ②
又∵

FG

=λ

FH

，∴（x₄，y₄-2）=λ（x₅，y₅）．
∴x₄=λx₅．    ③
由①②③聯立得(

x4+x5

1+λ

)2=x52=

x4x5

λ

，
即

( -4k 1 2 +k2 )2

(1+λ)2

=

3 1 2 +k2

λ

，整理得 

16

3( 1 2k2 +1)

=

(1+λ)2

λ

． …（12分）
∵k2＞

3

2

，∴4＜

16

3 2k2 +3

＜

16

3

，
∴4＜

(1+λ)2

λ

＜

16

3

，解得

1

3

＜λ＜3且λ≠1．
又∵0＜λ＜1，∴

1

3

＜λ＜1．                  …（13分）
當直線GH斜率不存在時，直線GH方程為x=0，此時

FG

=

1

3

FH

，即λ=

1

3

．
∴

1

3

≤λ＜1，即所求λ的取值范圍是[

1

3

，1)．          …（14分）

點評：本題綜合考查了橢圓的定義及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到△＞0及根與系數的關系、線段垂直平分線的性質、中點坐標公式、等差數列的性質等基礎知識與基本技能，考查了較強的計算能力、推理能力和解決問題的能力．