Question

【題目】已知函數，的定義域分別為，若存在常數，滿足：①對任意，恒有，且.②對任意，關于的不等式組恒有解，則稱為的一個“型函數”.

(1)設函數和，求證：為的一個“型函數”；

(2)設常數，函數，.若為的一個“型函數”，求的取值范圍；

(3)設函數.問：是否存在常數，使得函數為的一個“型函數”？若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).

【解析】

（1）由，恒成立，①成立，根據解析式，為不等式組的一個解，得②成立，即可證明結論；

（2）為的一個“型函數”，滿足①對任意，求出的范圍，②對任意，關于的不等式組恒有解，

轉化為求函數的最值，可求出的范圍，即可求解；

（3）由為的一個“型函數”，與（2）同理，將同時滿足①②條件的參數求出，即可求解.

（1）①，

當，

任意，且，

②，，

因為，

為不等式的一個解，

所以為的一個“型函數”；

（2）①對任意，

，

；

②對任意，關于的不等式組恒有解，

，即，

因為關于的不等式組恒有解，所以，

恒成立，；

綜上，；

（3）①對任意對任意，

，

；

②對任意，關于的不等式組恒有解，

，

考慮，

令，

則，

由于在時，單調遞增，

或（舍去），

由，記方程的根為，

若，則，

即為不等式組的一個解，

若，取且，

，

綜上，.