Question

（本題滿分14分）

         如圖，已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁，，E是棱CC₁上動點，F是AB中點，

   （1）求證：；

   （2）當E是棱CC₁中點時，求證：CF//平面AEB₁；

   （3）在棱CC₁上是否存在點E，使得二面角A—EB₁—B的大小是45°，若存在，求CE的長，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）

解析:

（1）證明：三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直棱柱，

         平面ABC   1分

         °，AC=BC=2，F是AB中點

           2分

         又      3分

         平面ABB。  4分

   （2）證明：取AB₁的中點G，聯結EG，FG

         分別是棱AB、AB₁中點，

        

         又

         四邊形FGEC是平行四邊形，6分www

           7分

         平面AEB₁，平面AEB₁     8分

         平面AEB₁。 9分

   （3）解：以C為坐標原點，射線CA，CB，CC₁為軸正半軸，

         建立如圖所示的空間直角坐標系

         則C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4） 10分

         設，平面AEB₁的法向量

         則

         且

         于是

         所以

         取 12分www

         三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直棱柱，

         平面ABC，

         又平面ABC

        

        

        

        

         平面ECBB₁   

         是平面EBB₁的法向量，

        

         二面角A—EB₁—B的大小是45°，

         則 13分

         解得

         在棱CC₁上存在點E，使得二面角A—EB₁—B的大小是45°。

         此時   14分