Question

設函數y=f（x）對任意實數x，都有f（x）=2f（x+1），當x∈[0，1]時，f（x）=

27

4

x²（1-x）．
（Ⅰ）已知n∈N₊，當x∈[n，n+1]時，求y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）求證：對于任意的n∈N₊，當x∈[n，n+1]時，都有|f（x）|≤

1

2n

；
（Ⅲ）對于函數y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的圖象上存在點P，使經過點P的切線與直線x+y=1平行，那么這樣點有多少個？并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過已知表達式，求出f（x-n）=

27

4

（x-n）²（1+n-x）．通過遞推關系式求出f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函數的導數，求出函數的最大值，利用最大值小于等于

1

2n

，即可證明對于任意的n∈N₊，當x∈[n，n+1]時，都有|f（x）|≤

1

2n

；
（Ⅲ）對于函數y=f（x）（x∈[0，+∞），若在它的圖象上存在點P，使經過點P的切線與直線x+y=1平行，轉化為方程f'（x）=-1在[n，n+1]上有解問題，通過①當0≤n≤2時，g（n+1）≥0，推出有一解，即存在三個點P；②n≥3時，g（n+1）＜0，沒有解．得到結果．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=2f（x+1）⇒f（x）=

1

2

f（x-1），x∈[n，n+1]，則（x-n）∈[0，1]
⇒f（x-n）=

27

4

（x-n）²（1+n-x）．
f（x）=

1

2

f（x-1）=

1

22

f（x-2）=…=

1

2n

f（x-n）=

27

2n+2

（x-n）²（1+n-x）．（n=0也適用）．…（4分）
（Ⅱ）f'（x）=-

81

2n+2

(x-n)(x-

3n+2

3

)，由f'（x）=0得x=n或x=n+

2

3

x	n	（n，n+ 2 3 ）	n+ 2 3	（n+ 2 3 ，n+1）	n+1
f'（x）		+	0	-	+
	0	↗	極大	↘	0

f（x）的極大值為f（x）的最大值，fmax=f(n+

2

3

)=

1

2n

，
又f（x）≥f（n）=f（n+1）=0，∴|f（x）|=f（x）≤

1

2n

（x∈[n，n+1]）．…（8分）
（Ⅲ）y=f（x），x∈[0，+∞）即為y=f（x），x∈[n，n+1]，f'（x）=-1．
本題轉化為方程f'（x）=-1在[n，n+1]上有解問題
即方程(x-n)(x-

3n+2

3

)-

2n+2

81

=0在[n，n+1]內是否有解．…（11分）
令g（x）=(x-n)(x-

3n+2

3

)-

2n+2

81

=x2-

6n+2

3

x+

3n2+2n

3

-

2n+2

81

6，
對軸稱x=n+

1

3

∈[n，n+1]，
又△=…=

4

9

+

2n+4

81

＞0，g（n）=-

2n+2

81

＜0，g（n+1）=

27-2n+2

81

，
①當0≤n≤2時，g（n+1）≥0，∴方程g（x）=0在區間[0，1]，[1，2]，[2，3]上分別有一解，即存在三個點P；
②n≥3時，g（n+1）＜0，方程g（x）=0在[n，n+1]上無解，即不存在這樣點P．
綜上所述：滿足條件的點P有三個．…（16分）

點評：本題通過函數的導數判斷函數的單調性求出函數的最大值，證明恒成立問題的應用，考查函數與方程的根的問題，考查轉化思想，邏輯推理能力，計算能力．