Question

D．選修4-5：不等式證明選講
對于任意實數a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，試求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：由題意可得|x-1|+|x-2|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

 的最小值，而

|a+b|+|a-b|

|a|

 的最小值等于2，故x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解，根據數軸上的

1

2

、

5

2

 對應點到1和2對應點的距離之和等于2，可得不等式的解集．

解答：解：由題知，|x-1|+|x-2|≤

|a-b|+|a+b|

|a|

 恒成立，
故|x-1|+|x-2|小于或等于

|a+b|+|a-b|

|a|

 的最小值．
∵|a+b|+|a-b|≥|a+b+a-b|=2|a|，當且僅當 （a+b）（a-b）≥0 時取等號，
∴

|a+b|+|a-b|

|a|

 的最小值等于2，
∴x的范圍即為不等式|x-1|+|x-2|≤2的解．
由于|x-1|+|x-2|表示數軸上的x對應點到1和2對應點的距離之和，又由于數軸上的

1

2

、

5

2

 對應點到
1和2對應點的距離之和等于2，故不等式的解集為[

1

2

，

5

2

]．

點評：本題是選考題，考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，判斷|x-1|+|x-2|表示數軸上的x對應點到1和2對應點的距離之和，是解題的關鍵．