Question

本題有（1）、（2）、（3）三個選答題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分，作答時，先在答題卡上把所選題目對應的題號填入括號中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知二階矩陣M=

a 1 3 d

有特征值λ=-1及對應的一個特征向量e1=

1 -3

．
（Ⅰ）求距陣M；
（Ⅱ）設曲線C在矩陣M的作用下得到的方程為x²+2y²=1，求曲線C的方程．
（2）選修4-4：坐標系與參數方程
在直角坐標系xOy中，曲線C的參數方程為

x=2+t y=t+1

(t為參數），曲線P在以該直角坐標系的原點O的為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系下的方程為p²-4pcosθ+3=0．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程和曲線P的直角坐標方程；
（Ⅱ）設曲線C和曲線P的交點為A、B，求|AB|．
（3）選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|x+1|+|x-2|，不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立．
（Ⅰ）求實數t的取值范圍；
（Ⅱ）記t的最大值為T，若正實數a、b、c滿足a²+b²+c²=T，求a+2b+c的最大值．

Answer 1

分析：（1）：（I）根據矩陣的特征值與特征向量的定義建立等式關系，解之即可求出a和d的值，從而求出矩陣M；
（II）設點A（x，y）為曲線C上的任一點，它在矩陣M的作用下得到的點為A'（x'，y'），然后建立等式關系，將A'（x'，y'）代入方程為x²+2y²=1進行求解即可．

（2）（Ⅰ）曲線C的參數方程為

x=2+t y=t+1

(t為參數），消去參數t即得普通方程，再根據極坐標和直角坐標方程的互化公式求得曲線C在極坐標系中的方程．
（Ⅱ）由（I）把直線C的極坐標方程化為直角坐標方程，把曲線P的極坐標方程化為直角坐標方程，求出圓心到直線的距離，再根據圓的半徑，求出弦長．

（3）（I）首先已知不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立，則可以求出f（x）的最小值，使得t≤f（x）_min即可．
（II）由（Ⅰ）知，T=3，即a²+b²+c²=3．由柯西不等式知：（a+2b+c）²≤（a²+b²+c²）（1²+2²+1²），即可求出a+2b+c的最大值．

解答：解：（1）（本小題滿分7分）選修4-2：矩陣與變換
（Ⅰ）依題意得：

a 1 3 d

1 -3

=(-1)

1 -3

，即

a-3=-1 3-3d=3

，…（2分）
解得

a=2 d=0

，所以M=

2 1 3 0

．…（3分）
（Ⅱ）設曲線C上一點P（x，y）在矩陣M的作用下得到曲線x²+2y²=1上一點P'（x'，y'），
則

x′ y′

=

2 1 3 0

x y

，即

x′=2x+y y′=3x

，…（5分）
又因為（x'）²+2（y'）²=1，所以（2x+y）²+2（3x）²=1，
整理得曲線C的方程為22x²+4xy+y²=1．…（7分）

（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標系與參數方程
（Ⅰ）曲線C的普通方程為x-y-1=0，曲線P的直角坐標方程為x²+y²-4x+3=0．…（3分）
（Ⅱ）曲線P可化為（x-2）²+y²=1，表示圓心在（2，0），半徑r=1的圓，
則圓心到直線C的距離為d=

|1|

2

=

2

2

，所以|AB|=2

r2-d2

=

2

．…（7分）

（3）（本小題滿分7分）選修4-5：不等式選講
（Ⅰ）不等式t≤f（x）在x∈R上恒成立，則t≤f（x）_min，
又因為f（x）=|x+1|+|x-2|≥|（x+1）-（x-2）|=3，所以函數f（x）的最小值為3，
所以t的取值范圍為（-∞，3]．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，T=3，即a²+b²+c²=3．
由柯西不等式知：（a+2b+c）²≤（a²+b²+c²）（1²+2²+1²），則（a+2b+c）²≤18．
所以a+2b+c的最大值為2

3

，…（6分）
當且僅當a=

2

2

，b=

2

，c=

2

2

時等號成立．…（7分）

點評：（1）本小題主要考查矩陣與變換、曲線在矩陣變換下的曲線的方程，考查運算求解能力及化歸與轉化思想．
（2）本小題主要考查曲線的參數方程與極坐標方程、直線的極坐標方程等基礎知識，考查運算求解能力以及化歸與轉化思想、分類與整合思想，屬于基礎題．
（3）此小題主要考查恒成立的問題、柯西不等式，屬于基礎題型．