Question

若關于x的實系數方程x²+ax+b=0有兩個根，一個根在區間（0，1）內，另一根在區間（1，3）內，記點（a，b）對應的區域為S．
（1）設z=2a-b，求z的取值范圍；
（2）過點（-5，1）的一束光線，射到x軸被反射后經過區域S，求反射光線所在直線l經過區域S內的整點（即橫縱坐標為整數的點）時直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）令f（x）=x²+ax+b，根據題意可知f（0）＞0，f（1）＜0，f（3）＞0，進而求得b＞0，a+b+1＜0，a+b+9＞0，畫出可行域，進而分別求得z的最大和最小值，答案可得．
（2）過點（-5，1）的光線經x軸反射后的光線必過點（-5，-1），由圖可知，找出可能滿足條件的整點，再結合不等式知點（-3，1）符合條件，得到此時直線方程即可．
解答：解：方程x²+ax+b=0的兩根在區間（0，1）和（1，3）上的幾何意義是：
函數y=f（x）=x²+ax+b與x軸的兩個交點的橫坐標分別在區間（0，1）和（1，3）內，
由此可得不等式組
，即，
則在坐標平面aOb內，點（a，b）對應的區域S如圖陰影部分所示，
易得圖中A，B，C三點的坐標分別為（-4，3），（-3，0），（-1，0），（4分）
（1）令z=2a-b，則直線b=2a-z經過點A時z取到下邊界-11，經過點C時z取到上邊界-2，
又A，B，C三點的值沒有取到，所以-11＜z＜-2；（8分）
（2）過點（-5，1）的光線經x軸反射后的光線必過點（-5，-1），由圖可知
可能滿足條件的整點為（-3，1），（-3，2），（-2，2），（-2，1），
再結合不等式知點（-3，1）符合條件，所以此時直線方程為：y+1=-（x+5），
即y=x+4   （12分）
點評：本題主要考查了一元二次方程根據的分布，以及線性規劃的基本知識．考查了學生對基礎知識的綜合運用．